Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2026
Ключевые слова: Hall quasifield, quasifield with Hall condition, spread set, spectrum, automorphism, right-primitive quasifield, Квазиполе Холла, квазиполе с условием Холла, регулярное множество, спектр, автоморфизм, правопримитивное квазиполе
Аннотация: Since the beginning of the last century, non-associative algebraic systems have been used tocoordinatize non-Desarguesian projective translation planes. Such systems as semifields and quasifieldsare now find application in cryptographic algorithm design. Hall quasifields were introduced in 1943 andwere the first examples of non-disПоказать полностьюtributive and non-associative quasifields. They are two-dimensional quasifields over the center, all non-central elements of which satisfy unique quadratic equation. The automorphism group acts transitively on non-central elements. Hall quasifields of the same order coordinatize the isomorphic translation planes, that is Hall planes. Increasing the dimension of the quasifield over the center, we obtain generalized quasifields with the Hall condition. Such a quasifield cannot beeither a semifield or a near-field. More than one non-isomorphic quasifields with the Hall condition cancorrespond to one irreducible polynomial over a given field. The spread set method is used for reasoningand calculations. It allows to present the multiplication rule as a linear transformation and so to describe subfields and sub-quasifields, spectra and automorphisms. These structural questions with somesolutions are naturally transferred from the two-dimensional case. Unlike Hall quasifields, a multidimensional quasifield with the Hall condition cannot be generated by a single element, this fact completes theresults by M. Cordero and V. Jha (2009) on covering and primitivity. Presenting examples, the authorslist all non-isomorphic quasifields of order 16 with the Hall condition and define their automorphism groups. Для координатизации недезарговых проективных плоскостей трансляций с начала прошлого века применяют неассоциативные алгебраические системы: полуполя и квазиполя. Эти системы находят сейчас приложение и в разработке криптографических алгоритмов. Квазиполя Холла были представлены в 1943 году и явились первым примером недистрибутивных и неассоциативных квазиполей. Это двумерные над центром квазиполя, все нецентральные элементы которых удовлетворяют одному квадратному уравнению. Группа автоморфизмов действует транзитивно на нецентральных элементах. Все квазиполя Холла одного порядка координатизируют одну плоскость трансляций - плоскость Холла. Увеличивая размерность квазиполя над центром, получаем обобщенные квазиполя с условием Холла. Такое квазиполе не может быть ни полуполем, ни почти-полем. Одному неприводимому многочлену над данным полем может соответствовать несколько неизоморфных квазиполей с условием Холла. Для исследования применяется метод регулярного множества, основанный на записи умножения как линейного преобразования. Решение некоторых структурных вопросов естественно переносится с двумерного случая: описаны подполя и спектры. В отличие от квазиполя Холла, многомерное квазиполе с условием Холла не может порождаться одним элементом, что дополняет результаты М.Кордеро и В.Джа 2009 г. о покрытии и примитивности. Представляя примеры, авторы перечисляют все неизоморфные квазиполя порядка 16 с условием Холла и определяют их группы автоморфизмов.
Журнал: Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика
Выпуск журнала: Т. 19, № 2
Номера страниц: 231-247
ISSN журнала: 19971397
Место издания: Красноярск
Издатель: Сибирский федеральный университет