Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 2023
Ключевые слова: формулы Варинга, системы неалгебраических уравнений, дзета-функция корней системы
Аннотация: Актуальность проекта определяется необходимостью исследования систем неалгебраических уравнений, возникающих при описании нелинейных процессов в различных областях знания, таких как теоретическая физика, химическая кинетика (включая задачи, возникающие при описании процессов в нефтегазовой промышленности, а также при изучении кинеПоказать полностьютики химических превращений композитов на основе горных пород), математическая биология. Такие исследования не были проведены ранее, поскольку ранее речь шла только о системах алгебраических уравнений. На данный момент специалисты, как правило, ограничиваются рассмотрением конкретных примеров систем неалгебраических уравнений, которые поддаются решению лишь в случае, когда их можно свести к алгебраическим с помощью замены переменных. В противном случае не существует общих методов подхода к исследованию таких систем, содержащих, например, коэффициенты в виде параметров. Научная значимость данного проекта связана со снижением размерности при решении систем трансцендентных уравнений, состоящих из голоморфных функций многих комплексных переменных. Полученные результаты позволяют расширить области применения методов и алгоритмов компьютерной алгебры на широкий класс неалгебраических систем. За второй год выполнения проекта в области исследования систем неалгебраических уравнений, построения результанта двух целых функций и исследования их общих нулей представлен подход к вычислению сумм некоторых типов двойных числовых рядов. Найдены суммы некоторых типов двойных числовых рядов, ранее отсутствовавших в известных справочниках. Они выражаются через известные специальные функции, такие как функция Бесселя. Разработаны и программно реализованы символьные алгоритмы, один из которых вычисляет степенные суммы корней по рекуррентным формулам Ньютона, а второй на основе вычисления результанта позволяет находить частичные суммы некоторых классов кратных числовых рядов. Данные результаты особенно важны в случае, когда корни функций не известны. В прикладной части проекта исследована устойчивость решений некоторых обратных задач для эллиптических уравнений. Качественный анализ обратных задач позволяет устанавливать условия их корректности и разрабатывать численные алгоритмы для восстановления параметров, характеризующих физические свойства среды. В рамках выполнения проекта рассмотрены обратные задачи отыскания неизвестного младшего коэффициента в линейном и нелинейном эллиптических уравнениях второго порядка с интегральными условиями переопределения на границе исследуемой области. Для линейного уравнения доказана непрерывная зависимость сильного решения обратной задачи от ее исходных данных в случае смешанного граничного условия. Для нелинейного уравнения установлена непрерывная зависимость сильного решения обратной задачи с граничным условием первого рода от данных переопределения. Заключительная часть работ по проекту была выполнена в области алгебро-логических методов в компьютерной алгебре. Развиваемый логический аппарат нашел своё применение на этапе анализа корректности и эффективности разрабатываемых алгоритмов.