Тип публикации: отчёт о НИР
Год издания: 2023
Ключевые слова: группа лиева типа, кольцо Ли, ковровая подгруппа, порождающие элементы, регулярная р-группа, рациональная группа, строго вещественный элемент, характер группы, собирательный процесс, интегральное представление комбинаторных сумм
Аннотация: 1) Завершено решение вопроса 14.69а) из Коуровской тетради: Для каждой конечной простой неабелевой группы G найти минимум n(G ) числа порождающих инволюций, произведение которых равно 1. Число n(G) найдено в случаях, когда G есть PSU(3,q) при нечетном q, PSL(3,2m), PSU(5,4), PSL(4,2m) и PSU(4,2{2m}). Учитывая ранее полученные резулПоказать полностьюьтаты, имеем следующий законченный результат. Пусть G — известная конечная простая неабелева группа. Тогда:1) n(G) = 7, если G есть PSU(3,32); 2) n(G) = 6, если G есть A_7, A_8, M_11, M_22, M_23, McL, PSU(3,52), PSU(4,32), PSU(5,22), PSL(3,q) при q − 1 не делящемся на 3, PSU(3,q2) при q + 1 не делящемся на 3 и q не равном 3, PSL(4,2m) или PSU(4,2{2m}); 3) n(G) = 5, если G отлична от групп из пунктов 1) и 2). 2) Для групп PSL(n,q) при q=9 найден минимум числа сопряженных порождающих инволюций, произведение которых равно 1. Оно оказалось равным 5. 3) Доказано, что группы SL(5,Z + iZ), PSL(6,Z + iZ) и SL(10,Z + iZ) порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Учитывая ранние результаты, получаем два следствия: а) Группа SL(n,Z + iZ) тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда n > 4 и n не равно 6; б) Группа PSL(n,Z+iZ) тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда n > 4. 4) Доказано, что включения A2_r A_{-r}⊆ A_ r , r ∈ Φ, являются достаточными для замкнутости ковра аддитивных подгрупп A = {A r | r ∈ Φ} над произвольным коммутативным кольцом K при условии, что тип Φ отличен от C_n , n ≥ 5, когда характеристика кольца K есть 0 или 2m для некоторого натурального числа m > 1. Тем самым при тех же ограничениях получен ответ на вопрос 19.63 из Коуровской тетради и подтверждена одна гипотеза В.М.Левчука от 1982 г., а также дан частичный ответ на вопрос 19.62. 5) По собирательному процессу получены следующие результаты. Для любого формального коммутатора R свободной группы F конструктивно доказано существование логической формулы E_R со следующими свойствами. Во-первых, ее строение определяется коммутатором R, а логические значения определяются положительным словом W группы F, к которому применяется собирательный процесс, и порядком сбора коммутаторов. Во-вторых, если в ходе собирательного процесса был собран коммутатор R, то его показатель степени равен количеству элементов множества D(R), удовлетворяющих E_R, где D(R) определяется R. Таким образом, с помощью формулы E_R, можно исследовать (например, находить явный вид) показатель степени коммутатора R, используя информацию о начальном слове W и порядке сбора коммутаторов. Приведены примеры такой формулы для некоторых серий коммутаторов, и как следствие, в произвольной группе G с абелевым коммутантом получена собирательная формула в явном виде для слова (a_1 ... a_n)m, где n,m≥1 и a_1, ..., a_n ∈ G. 6) Указанные в п. 5) результаты по собирательному процессу позволили продвинуться в исследовании вопроса Верфрица о перечислении регулярных силовских p-подгрупп общих линейных групп над кольцами вычетов по p-примарному модулю, а также его обобщении – перечислении регулярных силовских p-подгрупп элементарных групп Шевалле над тем же кольцом. Доказаны следующие результаты: а) Пусть p>2 – простое число, Ф – система корней одного из типов: A_n, n>0; B_n, C_n, n>1; D_n, n>3. Группа PФ(Z_{p3}) ступени нильпотентности 3h(Ф)-1 регулярна тогда и только тогда, когда 3h(Ф)-1< p+1. б) Пусть p – простое число, Ф – произвольная приведённая неразложимая система корней НОД(p,p(Ф))=1. Группа PФ(Z_{pm}) ступени нильпотентности mh(Ф)-1 регулярна, если m>2 и mh(Ф)-1=p. в) Пусть Ф – система корней исключительного лиева типа, отличного от G_2. Неравенство mh(Ф)-1<p является необходимым и достаточным условием регулярности группы PФ(Z_{pm}) при m=1,2. Неравенство 3h(Ф)-1<p+1 является необходимым и достаточным условием регулярности группы PФ(Z_{p3}).