Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2022
Идентификатор DOI: 10.17516/1997-1397-2022-15-5-598-609
Ключевые слова: bundle topology, Gelfand-Naimark-Segal construction, irreducible representation, spectral decomposition, топология расслоения, конструкция Гельфанда-Наймарка-Сигала, неприводимое представление, спектральное разложение, gelfand–naimark–segal construction
Аннотация: The rotation algebra Aθ is the universal C∗-algebra generated by unitary operators U, V satisfying the commutation relation UV = ωV U where ω = e2πiθ. They are rational if θ = p/q with 1 p q -1, othewise irrational. Operators in these algebras relate to the quantum Hall e ect [2,26,30], kicked quantum systems [22, 34], and the specПоказать полностьюtacular solution of the Ten Martini problem [1]. Brabanter[4] and Yin [38] classified rational rotation C∗-algebras up to ∗-isomorphism. Stacey [31] constructed their automorphism groups. They used methods known to experts: cocycles, crossed products, Dixmier- Douady classes, ergodic actions, K-theory, and Morita equivalence. This expository paper defines Ap/q as a C∗-algebra generated by two operators on a Hilbert space and uses linear algebra, Fourier series and the Gelfand-Naimark-Segal construction [16] to prove its universality. It then represents it as the algebra of sections of a matrix algebra bundle over a torus to compute its isomorphism class. The remarks section relates these concepts to general operator algebra theory. We write for mathematicians who are not C∗-algebra experts. Алгебра вращений Aθ - это универсальная C∗-алгебра, порожденная унитарными операторами U, V , удовлетворяющими коммутационному соотношению UV = ωV U , где ω = e2πiθ. Они рациональны, если θ = p/q с 1 p q - 1, в противном случае иррациональны. Операторы в этих алгебрах связаны с квантовым эффектом Холла [2, 26, 30], квантовыми системами [22, 34] и эффектным решением проблемы Тена Мартини [1]. Брабантер [4] и Инь [38] классифицировали C∗-алгебры рационального вращения с точностью до ∗-изоморфизма. Стейси [31] построила свои группы автоморфизмов. Они использовали известные специалистам методы: коциклы, скрещенные произведения, классы Диксмье-Дуади, эргодические действия, К-теорию и эквивалентность Мориты. Эта пояснительная статья определяет Ap/q как C∗-алгебру, порожденную двумя операторами в гильбертовом пространстве, и использует линейную алгебру, ряды Фурье и конструкцию Гельфанда-Наймарка-Сигала [16] для доказательства его универсальности. Затем он представляет его как алгебру сечений расслоения матричной алгебры над тором для вычисления его класса изоморфизма. Раздел примечаний связывает эти концепции с общей теорией операторной алгебры. Мы пишем для математиков, не являющихся экспертами в C∗-алгебре. The rotation algebra Aθ is the universal C*-algebra generated by unitary operators U, V satisfying the commutation relation (Formula presented). They are rational if (Formula presented), othewise irrational. Operators in these algebras relate to the quantum Hall effect [2, 26, 30], kicked quantum systems [22, 34], and the spectacular solution of the Ten Martini problem [1]. Brabanter [4] and Yin [38] classified rational rotation C*-algebras up to *-isomorphism. Stacey [31] constructed their automorphism groups. They used methods known to experts: cocycles, crossed products, Dixmier-Douady classes, ergodic actions, K–theory, and Morita equivalence. This expository paper defines Ap/q as a C*-algebra generated by two operators on a Hilbert space and uses linear algebra, Fourier series and the Gelfand–Naimark–Segal construction [16] to prove its universality. It then represents it as the algebra of sections of a matrix algebra bundle over a torus to compute its isomorphism class. The remarks section relates these concepts to general operator algebra theory. We write for mathematicians who are not C*-algebra experts. © Siberian Federal University.
Журнал: Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика
Выпуск журнала: Т. 15, № 5
Номера страниц: 598-609
ISSN журнала: 19971397
Место издания: Красноярск
Издатель: Сибирский федеральный университет