Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2020
Идентификатор DOI: 10.26516/1997-7670.2020.32.49
Ключевые слова: semifield plane, spread set, Baer involution, homology, autotopism, полуполевая плоскость, регулярное множество, бэровская инволюция, гомология, автотопизм
Аннотация: We investigate the hypotheses on a solvability of the full collineation group for non-Desarguesian semifield projective plane of a finite order (the question 11.76 in Kourovka notebook). It is well-known that this hypotheses is reduced to the solvability of an autotopism group. We study the subgroups of even order in an autotopism group using the method of a spread set over a prime subfield. It is proved that, for an elementary abelian 2-subgroups in an autotopism group, we can choose the base of a linear space such that the matrix representation of the generating elements is convenient and uniform for odd and even order; it does not depend on the space dimension. As a corollary, we show the correlation between the order of a semifield plane and the order of an elementary abelian autotopism 2-subgroup. We obtain the infinite series of the semifield planes of odd order which admit no autotopism subgroup isomorphic to the Suzuki group Sz(22n+1). For the even order, we obtain the condition for the nucleus of a subplane which is fixed pointwise by the involutory autotopism. If we can choose such the nucleus as a basic field, then the linear autotopism group contains no subgroup isomorphic to the alternating group A4. The main results can be used as technical for the further studies of the subgroups of even order in an autotopism group for a finite non-Desarguesian semifield plane. The obtained results are consistent with the examples of 3-primitive semifield planes of order 81, and also with two well-known non-isomorphic semifield planes of order 16. Изучается гипотеза разрешимости полной группы автоморфизмов недезарговой полуполевой проективной плоскости конечного порядка (вопрос 11.76 в Коуровской тетради). Как известно, эта гипотеза редуцируется к разрешимости группы автотопизмов. Изучая подгруппы четного порядка в группе автотопизмов, мы применяем метод с использованием регулярного множества над полем простого порядка. Показано, что для элементарной абелевой 2-подгруппы в группе автотопизмов выбор базиса линейного пространства позволяет построить матричное представление порождающих элементов, единообразное для полуполевых плоскостей четного и нечетного порядка и не зависящее от размерности пространства. В качестве следствия указано условие, связывающее порядок полуполевой плоскости и порядок элементарной абелевой 2-подгруппы автотопизмов. Выделена бесконечная серия полуполевых плоскостей нечетного порядка, не допускающих подгруппу автотопизмов, изоморфную группе Судзуки Sz(22n+1). В случае четного порядка плоскости получено условие на ядро подплоскости, поточечно фиксируемой автотопизмом порядка два. Выбор такого ядра в качестве основного поля приводит к отсутствию в группе линейных автотопизмов подгруппы, изоморфной знакопеременной группе A4. Основные доказанные результаты являются техническими и необходимы для дальнейшего изучения подгрупп четного порядка в группе автотопизмов конечной недезарговой полуполевой плоскости. Результаты согласуются с приведенными в статье примерами 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81, а также с хорошо известными двумя примерами неизоморфных полуполевых плоскостей порядка 16.
Журнал: Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика
Выпуск журнала: Т. 32
Номера страниц: 49-63
ISSN журнала: 19977670
Место издания: Иркутск
Издатель: Иркутский государственный университет