Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2011
Ключевые слова: nonlinear equations, Riemann-Hilbert problem, steepest descent method, asymptotics
Аннотация: The modified Korteveg de Vries equation <i>q</i><i>t</i><i></i> + 6<i>q</i><i></i>2<i>q</i><i>x</i><i></i> + <i>q</i><i>xxx</i><i></i> = 0 on the line is considered. The initial data is the pure step function, i.e. <i>q</i>(<i>x</i>, 0) = <i>c</i><i>r</i><i></i> for <i>x</i> ≥ 0 and <i>q</i>(<i>x</i>, 0) = <i>c</i><i>l</i><i></i> for <i>x</i> < 0, where <i>c</i><i>l</i><i></i> > <i>c</i><i>r</i><i></i> > 0 are arbitrary real numbers. The goal of this paper is to study the asymptotic behavior of the solution of initial-value problem as <i>t</i> → - ∞, i.e. to study the long-time dynamics of the rarefaction wave. Using the steepest descent method and the so-called <i>g</i>-function mechanism we deform the original oscillatory matrix Riemann-Hilbert problem to the explicitly solvable model forms and show that the solution of the initial-value problem has different asymptotic behavior in different regions of the <i>xt</i>-plane. In the regions <i>x</i> < 6<i>c</i><i>l</i><i></i>2 <i>t</i> and <i>x</i> > 6<i>c</i><i>r</i><i></i>2<i>t</i>, the main term of asymptotics of the solution is equal to <i>c</i><i>l</i><i></i> and <i>c</i><i>r</i><i></i>, respectively. In the region 6<i>c</i><i>l</i><i></i>2 <i>t</i> < <i>x</i> < 6<i>c</i><i>r</i><i></i>2<i>t</i>, the asymptotics of the solution tends to √(<i>x</i>/6<i>t).</i>
Журнал: Журнал математической физики, анализа, геометрии
Выпуск журнала: Т. 7, № 1
Номера страниц: 59-86
ISSN журнала: 18129471
Место издания: Харьков
Издатель: Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина Национальной АН Украины